Álgebra linear Exemplos

$2 x + y = 4$ , $5 x - 2 y = 1$

Etapa 1

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 5 & - 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Etapa 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 5 & - 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 2 \\ 5 & - 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Etapa 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 2 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{1}{2}) & 1 - 5 \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & - \frac{9}{2} & - 9 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 2 \\ - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} (- \frac{9}{2}) & - \frac{2}{9} \cdot - 9 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Etapa 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$x = 1$

$y = 2$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(1, 2)$

Etapa 5

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}]$